「アキレスと亀のパラドックス」を解決する

人類2.0と言うからには、人類1.0が苦労している問題を全く新しい視点であっさり解いてしまうくらいでなければいけませんね。
そんなわけで今回は有名な「ゼノンのアキレスと亀のパラドックス」について考えてみましょう。

因みに皆さんはこのパラドックスを知っていますか？
詳しくはネットに多く書かれているのでそれを参照して頂きたいですが、一応ここにも簡単に書いておきましょう。

アキレスというのは足が速い者の代表であり、亀は足が遅い者の代表です。
仮に亀は時速1キロで歩き、アキレスはその10倍である時速10キロで走るとしましょう。
また両者とも速度は完全に一定で、止まらないとします。
そして仮に亀がアキレスよりも10ｍ先でスタートしてその後ろからアキレスが追いかけるとすると、アキレスはいつまで経っても亀には追いつけないというお話です。

「そんなバカな」と思うかも知れませんが、その理由を説明しましょう。

アキレスが亀に追いつくためには、まず亀が現在いる場所に辿り着かなければなりません。
つまり10m先の、スタート時に亀が居た場所までアキレスは行くことになりますね。
しかしながらアキレスが10ｍ先の場所に到着したときには、亀はスタート地点よりも少しばかりは進んでいることになります。ええ、足の速いアキレスといえども10mを走るためには有限の時間が掛かりますから、動いている亀は必ず進んでいますね。

つまりこの時点ではアキレスは亀に追いついていません。ではまた現在亀が居る場所までアキレスが走るとしましょう。当然ながらその距離がいくら小さくてもそこに辿り着くためには有限の時間が掛かります。なので亀はまた先に進んでしまっており、追いつくことが出来ません。
同様にして今、亀が居る場所までアキレスが走っても、その場所に着くときには亀はまた先に進んでいます。
よってアキレスと亀との距離はどんどん縮まっては行きますが、決してゼロにはなりません。
つまり、いつまで経ってもアキレスは亀に追いつけないことになります。



さて、いかがですか？
この説明を聞いても不思議に思わない人は恐らくこのパラドックスが理解出来ていないと思うので、じっくり読み返してみて下さいね。
或いはネットで詳しい説明を読むのも良い方法です。

この問題は今から遡ること2400年前の、古代ギリシャの哲学者であるゼノンが考えたとされています。よってまだ微積分が生まれるよりずっと前のことでしょう。以来、多くの天才数学者たちがこの問題に悩んできました。
しかしながら知っての通り、実際にはアキレスは亀にあっさりと追いつくことが出来ますね。実験を行えば結果は明白なのに、この説明はそれとは反するわけです。

さて、ここで科学のルールというか、論理の世界のルールを一つ示しておきます。
皆さんも自分に科学のセンスがあるかどうかチェックしてみて下さい。

このパラドックスに対する答えとして、時々こんな事を言う人が居ます。ええ、理科系の中にも！

例えば「アキレスと亀の相対速度は9km/hだから、計算すれば○○秒後に追いつく。だからこのパラドックスは間違っている」。
或いは「相対性原理より速度の基準点は（地面でなくても）どこでも良いから、観測者は亀と同じ速度で動いていることにすると亀は観測者に対してずっと静止しており、アキレスは一定の速度で亀に向かって動いている。亀が観測者に対して静止していればこの問題は起きず、アキレスは亀に追いつくことが出来る。だからこのパラドックスは間違っている」。

などなど。まあ、二つ目は学生時代に私が考えたものなんですけどね。

この様な答えをもってパラドックスを解決したとする人は科学のルールを知らない人です。これはたぶん哲学の世界でも同様でしょう。
あるパラドックスに対し、それに反論するために違う論法を持ってくることはパラドックスを破ったことにはなりません。
実際にアキレスが亀に追いつく事は皆が知っていますし、追いつくまでの時間の計算だって小学生でも出来るでしょう。

ですが科学のルールでは

「上記の論法のどこが間違っているのか？」

を示さなければならないのです。
上記とは違う論法を持ってきて「こっちの論法の方が正しいから、それとは異なる結果をもたらす論法は間違っている」という答え方は科学のルールには沿いません。（一般社会ではこの様な論法を嫌というほど見かけますね）

そんな答えで良いのなら古代ギリシャ時代から天才数学者らがずっと悩み続けることなどないでしょう。
このあたりは科学のセンスが問われる部分であり、理科系でも怪しい人がたまに居ますが……。

現代に於いては、一応、数学はこのパラドックスを解決したことになっている様です。
具体的には無限等比数列を使用した説明が主流でしょう。
しかしながらこのパラドックスを考えたゼノンは数学者ではなく哲学者です。
そして当時はまだ物理学と哲学は分離していなかったので、ゼノンはこの問題を現代で言うところの物理的に考えたのではないでしょうか？

無限等比数列では、上記のアキレスが亀が居た場所に着いて、また亀が少し進んでいるのでその場所まで着いて、……ということを無限に繰り返すことで追いつくという説明になります。普通の人は「無限」が出てくると微妙な気分になりますが、数学的には「無限に繰り返しても結果が有限に収束することが有る」的な説明が多いでしょうか。

ですが無限は数学的には定義出来たとしても、この現実世界には無限などは存在しないことになっています。この宇宙に存在する素粒子の数だって無限ではありませんし、ブラックホールの重力だって無限ではありません。
ですが理論上は追いつくはずのないアキレスが、実験をすると亀に追いつく。正にパラドックスです。
これを数学ではなく物理の問題として捉えたときに、果たしてこのパラドックスを破ることは出来るのでしょうか？

因みに現代に於いてもこのパラドックスは解決していないと考えている人は多く居るようです。（少なくとも私個人としては、本来物理のジャンルである問題を数学の問題に置き換えて無限を使った時点でチートだと思っています）

ではもし実際に超高感度のハイスピードビデオカメラでアキレスが亀に追いつくシーンを撮影し、その様子をスローモーションで再生したとしたら、追いつく瞬間は一体どう映っているのでしょうか？
そんなことを学生時代の私は良く考えたものでした。

それでは人類2.0に向けた、私のオリジナルの説明を述べてみましょう。
この問題はVR解釈を使えばいとも簡単に答えることが出来ますが、まずは現代の物理学だけを使って答えてみましょうか。

そもそもこのパラドックスで沼にはまってしまう理由は、距離や時間という物理量がアナログである、つまり連続的であると考えているためです。
しかしながら この宇宙は連続的ではなく離散的 に書いたように実際のこの宇宙は連続的ではなく離散的、つまりデジタルなのですよ。
具体的にはプランク時間やプランク長といった、最小の時間や長さがありましたね。
そしてこの問題はアキレスと亀との距離が1プランク長になった時を考えることで解決します。

因みに1プランク長を1プランク時間で動く速度は光速となります。
つまり光は1プランク時間で1プランク長を進むことが出来ますが、アキレスは光よりも遅いのでもっと時間が掛かりますね。具体的に言えば、アキレスの速度は光速の1/108303249の速度です。
同様にして亀の速度はアキレスの1/10なので光速の1/1083032490の速度ですね。

ここで大事なことが、

亀は1プランク長よりも短い距離を進むことが出来ない

ということです。距離の最小単位が1プランク長ですからね。
よって両者の距離がとても近くなった際には、アキレスが亀が居た位置に着くまでの時間に、亀が全く移動出来ない時があるわけです。
ここが無限を扱える数学と、現実世界を扱う物理学の違いなのですよ。

よってアキレスと亀との距離が縮まってやがて1プランク長になったときに、アキレスは108303249プランク時間で亀が居た位置に着きますが、亀は次の1プランク長を進むためにはアキレスの10倍の待ち時間を必要とするので、まだ同じ場所に居て進むことが出来ていません。
つまりそこでアキレスは亀に追いつくのですよ。



もしもその様子を超高性能カメラ（思考実験です）で撮影していたら、亀が止まっている時にアキレスが追いつくように映るはずです。
つまり「アキレスと亀のパラドックス」の解決に無限という数学的概念などは必要ないのですよ。
ですが同時に、この宇宙に最小の時間や長さがあることは量子力学の誕生によってはじめて判ったこのなので、量子力学以前の世界でこのパラドックスが解決出来なかったことは当然でしょう。それが古代ギリシャならば尚更です。

因みに実際に計算をしてみると、上記の「アキレスが亀が居た場所に追いついて、更にまた居た場所に追いついて」という作業を大体35回程度繰り返したところで両者の距離は1プランク長になります。
ふむ、35回というのは無限と比べるまでもなく意外と少ない回数ですね。そして36回目以降は亀が進めないために存在しないことになります。


さて、では次にVR解釈でもこのパラドックスを説明してみましょう。

VR解釈によるとプランク時間というのは、ゲームのフレームレートの事でしたね。
そしてプランク長というのは、液晶ディスプレイの一つのドットの大きさのような物でした。

つまり例えるなら液晶ディスプレイの中を決まったリフレッシュレートでドットが移動するように、実際にはカクカクとアキレスと亀は動いていることになります。
液晶ディスプレイでは当然ながらドットの大きさよりも小さい距離を移動することは出来ませんし、また原理的にドットにとどまる最短時間は1プランク時間であり、とどまっている時間が1プランク時間ならばそれは光速で動いていることになります。（よってこれよりも速く動く物はありません）

つまり実質的に速度というのは、

一つのドットにとどまっている時間

で決まるのです。（光は最小の1プランク時間です）
そしてリフレッシュレートで決まる一つのコマに亀が止まっているとき（1083032490フレームの間、亀は同じドッとにとどまっている）にアキレスが追いつくのですよ。ドットにとどまっている時間は亀の方が10倍長いですからね。


さて、いかがでしたか？
2400年以上未解決の問題をあっさりと解いてしまいました。
これにより「アキレスと亀のパラドックス」は数学的解決だけでなく物理的にも解決したので、このパラドックスについては完全解決と言えるでしょう。

因みにこれは全て私が一人で考えたオリジナルの論法なので無断で剽窃（ひょうせつ）しないで下さいね（笑）。


ちょっとだけ予告しておきますが、数学というのは所詮は哲学用語で言うところの「イデア」なのですよ。だから厳密には現実世界とは合わない部分があるのです。
そしてイデアの正体が何かと言えば……、もう言わなくても分かりますね？


人類2.0はVR解釈を前提とした根本的に今までとは異なる思考を行う人のことを指します。
これから私の頭の中を皆さんにお見せしていきます。そしていつの日か、皆さんにも私と同じ景色を見て頂きたいと思っています。


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